矩阵基础概念

阅读BEV相关论文的过程中频繁出现不同坐标系之间的转化，主要是涉及到旋转矩阵等等，这里作为前置基础知识进行补充。

1. 矩阵的逆是什么意思？

如果一个方阵 (A) 存在另一个矩阵 ($A^{-1}$)，满足：
$A A^{-1} = A^{-1} A = I$
那么这个 $A^{-1}$ 就叫 A 的逆矩阵。

这里的 (I) 是单位矩阵，比如二维时：

$$I= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

如何计算逆矩阵？

（本质就是套公式，以2x2矩阵为例子，3x3直接百度公式）
如果：

$$A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$$

而且 ($ad-bc \neq 0$)，那么逆矩阵的公式如下：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$$

---

2. 什么是转置矩阵？

矩阵的 转置 就是把行列交换。
如果：

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

那么它的转置：

$$A^T= \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$

---

3. 转置和求逆有什么区别？

转置只是“翻过去”：$A \to A^T$ . 求逆是“找一个矩阵把变换抵消掉”：$A \to A^{-1}$

• 一般矩阵里，转置不等于逆！！！

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

转置是：

$$A^T= \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$

逆矩阵则是：

$$A^{-1}= \frac{1}{1\cdot4-2\cdot3} \begin{bmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1\\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$$

所以这两个不是一个东西。

---

• 那什么时候转置等于逆？
  在一个非常重要的特殊情况里成立：

旋转矩阵的逆 = 它的转置
也就是：$R^{-1} = R^T$

---

4.为什么旋转矩阵这么特殊？

因为旋转不会拉伸，不会压缩，不会剪切，只是“转方向”。
所以它保持长度和夹角，这种矩阵叫 正交矩阵。
对正交矩阵，有：$R^T R = I$ 因此：$R^{-1}=R^T$

• 举个旋转矩阵的例子

二维逆时针旋转 90°：

$$R= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

它的转置：

$$R^T= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$

算一下：

$$RR^T= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$

所以：

$$R^{-1}=R^T$$

这说明：

• 逆时针转 90° 的逆操作
• 就是顺时针转 90°

---

5. 什么矩阵有逆？

最基本的要求是：

• 必须是方阵 （即，行数 = 列数）
• 行列式$\det(A)$不等于0（行列式如何计算？自行百度）

PS：如果$\det(A)=0$ 那这个矩阵就没有逆。这种矩阵叫 奇异矩阵。